Pembahasan Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Sebelum membahas soal sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, ada beberapa hal yang perlu diingat kembali yaitu.

Perhatikan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari r seperti pada gambar berikut.

Gambar 1. Hubungan sudur pusat, sudut keliling, panjang busur dan luas juring

Sudut Pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dan titik sudutnya merupakan pusat lingkaran. Dari gambar diatas sudut pusatnya adalah $\angle AOC=\alpha$
Sudut Keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan di satu titik dan titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Dari gambar diatas sudut kelilingnya adalah $\angle ABC=\beta$
$\angle AOC=2x\angle ABC$ jika kedua sudut tersebut menghadap busur yang sama
Rumus panjang busur AC adalah $AC=\frac{\alpha}{360^{\circ}}2\pi r$
Rumus luas juring AOC adalah $L_{AOC}=\frac{\alpha}{360^{\circ}}\pi r^{2}$

Gambar 2. Hubungan besar sudut keliling

Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. $\angle ABC=\angle ADC=\angle AEC=\beta$

Gambar 3. Hubungan sudut keliling yang saling berhadapan

Jumlah sudut dari sudut kelililing yang saling berhadapan adalah $180^{o}$ . $\angle ABC+\angle CFA=180^{o}$

Gambar 4. Sudut keliling menghadap diameter lingkaran

Sudut keliling yang meghadap diameter lingkaran membentuk sudut siku-siku

Pembahasan Soal Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

1. Perhatikan gambar berikut !

Jika $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle BOC=70^{o}$ , maka besar $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle OAB$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?25^{o}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?30^{o}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?35^{o}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?45^{o}$

Pembahasan

$\angle BOC$ merupakan sudut pusat dan $\angle OAB$ merupakan sudut keliling. Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah
$\mathrm{Sudut\, \, Keliling}=\frac{1}{2}\mathrm{Sudut\, \, Pusat}$

Sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle OAB=\frac{1}{2}\angle BOC$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{2}.70^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=35^{o}$

Kunci jawaban : C $\blacksquare$

2. Perhatikan gambar berikut

Titik O adalah pusat lingkaran. Jika diketahui $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{o}$ , maka besar $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle AOE$ adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?32^{o}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?48^{o}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?54^{o}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?64^{o}$

Pembahasan

Ingat bahwa besarnya sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sama.

Ambil $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle ACE$ dan misal $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle ACE=x$

Karena $https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle ABE=\angle ACE=\angle ADE$ , maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x+x+x=96^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?3x=96^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=\frac{96^{o}}{3}=32^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle AOE=2\angle ACE$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=2.32^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=64^{o}$

Kunci jawaban : D $\blacksquare$

3. Nilai x dari gambar dibawah adalah ....

A. $https://latex.codecogs.com/svg.image?32^{o}$

B. $https://latex.codecogs.com/svg.image?36^{o}$

C. $https://latex.codecogs.com/svg.image?42^{o}$

D. $https://latex.codecogs.com/svg.image?46^{o}$

Pembahasan

Ingat bahwa sudut keliling yang saling berhadapan dan kaki-kaki sudutnya berimpit memiliki jumlah besar sudut $https://latex.codecogs.com/svg.image?180^{o}$

Sehingga diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\angle BAD+\angle BCD=180^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x+3x=180^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?5x=180^{o}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x=36^{o}$

Kunci jawaban : B $\blacksquare$

4. Perhatikan gambar berikut

Tentukan besar $\angle BDE$ , $\angle BCE$ , dan $\angle CBE$

Pembahasan

$\angle BOC+\angle BOE=180^{o}$

$105^{o}+\angle BOE=180^{o}$

$\angle BOE=180^{o}-105^{o}$

$\angle BOE=75^{o}$

Perhatikan bahwa $\angle BDE$ dan $\angle BOE$ menghadap busur yang sama yaitu busur BE, maka

$\angle BDE=\frac{1}{2}\angle BOE$

$=\frac{1}{2}75^{o}$

$=37,5^{o}$

Perhatikan bahwa $\angle BDE$ menghadap busur yang sama dengan $\angle BCE$ yaitu busur BE, maka

$\angle BDE=\angle BCE$

$=37,5^{o}$

Perhatikan gambar dibawah

Dari gambar terlihat bahwa $\angle CBE$ menghadap diameter lingkaran maka $\angle CBE=90^{o}$ $\blacksquare$

5. Perhatikan gambar berikut

Jika QN adalah tangen dari lingkaran, tentukan besar $\angle OQN$ .

Pembahasan

Perhatikan $\angle QON$ (sudut pusat lingkaran) dan $\angle PMN$ (sudut keliling lingkaran) menghadap busur yang sama yaitu busu PN, maka

$\angle QON=2\angle PMN=2.25^{o}=50^{o}$

Perhatikan segitiga ONQ

Diketahui $\angle ONQ=90^{o}$ maka

$\angle ONQ+\angle QON+\angle OQN=180^{o}$

$90^{o}+50^{o}+\angle OQN=180^{o}$

$\angle OQN=180^{o}-140^{o}=40^{o}$ $\blacksquare$

6. Perhatikan gambar berikut

Dari gambar diatas, tentukan besar $\angle ODC$ .

Pembahasan

Perhatikan bahwa $\angle BAD$ menghadap busur yang sama dengan $\angle BOD$ , maka diperoleh

$\angle BOD=2.\angle BAD$

$=2.75^{o}$

$=150^{o}$

Perhatikan bahwa $\angle ODB=\angle OBD$

(Mengapa demikian? perhatikan bahwa segitiga BOD membentuk segitiga sama kaki. Berdasarkan sifat dari segitiga sama kaki, maka besar sudut kaki-kakinya sama besar)

Sehingga diperoleh

$\angle BOD+\angle ODB+\angle OBD=180^{o}$