Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasan Soal

Definisi Limit Fungsi

Misalkan f sebuah fungsi $f:R\rightarrow R$ dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real. $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=L$ jika dan hanya jika f(x) mendekati L untuk x mendekati c.

Sifat-Sifat Limit Fungsi

Sifat 1

Misalkan f sebuah fungsi $f:R\rightarrow R$ dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real. $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=L$ jika dan hanya jika $\displaystyle \lim_{x \to c^{-}}f(x)=L=\displaystyle \lim_{x \to c^{+}}f(x)$

Sifat 2

Misalkan f(x) = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka $\displaystyle \lim_{x \to c}k=k$

Sifat 3

Misalkan f(x) = x adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka $\displaystyle \lim_{x \to c}x=c$

Sifat 4

Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka $\displaystyle \lim_{x \to c}\left [k (f(x)) \right ]=k\left ( \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \right )$

Sifat 5

Misakan f, g adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati c dengan c adalah bilangan real, maka

$\displaystyle \lim_{x \to c}\left [f(x)g(x) \right ]=\left [ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \right ]\left [ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x) \right ]$

Sifat 6

Misakan f, g adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati c dengan c adalah bilangan real, maka

$\displaystyle \lim_{x \to c}\left [f(x)\pm g(x) \right ]=\left [ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \right ]\pm \left [ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x) \right ]$

Sifat 7

Misakan f, g adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati c dengan c adalah bilangan real, maka

$\displaystyle \lim_{x \to c}\left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)},\, dengan\, \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)\neq 0$

Sifat 8

Misakan f, g adalah fungsi yang mempunyai limit pada x mendekati c dengan c adalah bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka $\displaystyle \lim_{x \to c}\left [ f(x) \right ]^{n}=\left [ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \right ]^{2}$

Langkah-langkah menyelesaikan limit fungsi aljabar

Cara subtitusi yaitu substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L (L = nilai tentu)
Jika f(x) merupakan pembagian fungsi sehingga diperoleh f(c) = L merupakan salah satu dari bentuk tak tentu misal $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty ,-\infty ,\infty ^{\infty }$ , maka harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan strategi, mencari titik pendekatan atau memfaktorkan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai dari :

1. $\displaystyle \lim_{x \to 2}6x^{3}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\left ( 3x^{2}-4 \right )$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-4}{x+4}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\left ( 2x-1 \right )^{4}$

Pembahasan

1. $\displaystyle \lim_{x \to 2}6x^{3}=6\displaystyle \lim_{x \to 2}x^{3}$ (Sifat 4)

$=6\left ( \displaystyle \lim_{x \to 2}x \right )^{3}$ (sifat 8)

Lakukan langkah pengerjaan langkah 1 yaitu substitusikan x = 2 ke fungsi

$=6.2^{3}=6.8=48$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\left ( 3x^{2}-4 \right )=3.1^{2}-4=3-4=-1$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-4}{x+4}=\frac{1-4}{1+4}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\left ( 2x-1 \right )^{4}=\left ( 2.1-1 \right )^{4}=1^{4}=1$

Contoh 2

Hitunglah nilai dari limit berikut

1. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+2x-3}{2x-3}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-2x^{2}}{x^{2}-4}$

Pembahasan

1. $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+2x-3}{2x-3}$

Untuk bentuk pembagian seperti soal ini cek terlebih dahulu penyebutnya apakah dengan mensubtitusi x = 1 akan mengakibatkan penyebutnya nol. Jika tidak maka cara substitusi langsung bisa dilakukan untuk menyelesaikan limitnya. Jika tidak maka harus cari cara lain untuk menyelesaikannya misal dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk x = 1, maka 2x - 3 = 2.1 - 3 = -1

Maka penyelesaian soal ini bisa dilakukan dengan cara substitusi langsung, sehingga

$\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+2x-3}{2x-3}=\frac{1^{2}+2.1-3}{2.1-3}$

$=\frac{1+2-3}{2-3}=\frac{0}{-1}=0$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}$

Untuk x = 2 maka $x^{2}-4=2^{2}-4=0$ , sehingga penyelesaiannya dari limit ini tidak bisa menggunakan subtitusi langsung, melainkan dengan cara memfaktorkan yaitu :

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x-2 \right )}{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\left ( x-1 \right )}{\left ( x+2 \right )}=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9}=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{\left ( x-3 \right )\left ( x-2 \right )}{\left ( x-3 \right )\left ( x+3 \right )}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{\left ( x-2 \right )}{\left ( x+3 \right )}=\frac{3-2}{3+3}=\frac{1}{6}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-2x^{2}}{x^{2}-4}=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}(x-2)}{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^{2}}{x+2}=\frac{2^{2}}{2+2}=\frac{4}{4}=1$

Contoh 3 (Penyelesaian limit dengan gabungan substitusi, memfaktorkan dan strategi lainnya)

Tentukan nilai limit dari :

1. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{(x+4)(x-2)^{4}}}{(3x-6)^{2}}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{(x-7)^{3}}}{x-7}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$

Pembahasan

1. $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{(x+4)(x-2)^{4}}}{(3x-6)^{2}}=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^{2}\sqrt{x+4}}{(3x-6)^{2}}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-2)\sqrt{x+4}}{(3x-6)(3x-6)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-2)\sqrt{x+4}}{3(x-2)3(x-2)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-2)\sqrt{x+4}}{9(x-2)(x-2)}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+4}}{9}$

$=\frac{\sqrt{2+4}}{9}=\frac{1}{9}\sqrt{6}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{(x-7)^{3}}}{x-7}=\displaystyle \lim_{x \to 7}\frac{\sqrt{(x-7)^{2}(x-7)}}{x-7}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 7}\frac{(x-7)\sqrt{x-7}}{x-7}$

$=\displaystyle \lim_{x \to 7}\sqrt{x-7}$

$=\sqrt{7-7}=0$

3. Petunjuk : Rasionalkan pembilang

Bentuk sekawan dari $\sqrt{x+2}-\sqrt{2}$ adalah $\sqrt{x+2}+\sqrt{2}$ dan ingat bahwa $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$ sehingga :

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}=\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}.\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$