Konsep Antiturunan Sebagai Dasar Pemahaman Konsep Integral

KONSEP ANTI TURUNAN

Perhatikan turunan berikut

Turunan fungsi $F(x)=x^{4}$ adalah $F'(x)=f(x)=\frac{d}{dx}\left ( x^{4} \right )=4x^{3}$

Turunan fungsi $F(x)=x^{4}+3$ adalah $F'(x)=f(x)=\frac{d}{dx}\left ( x^{4}+3 \right )=4x^{3}$ , perhatikan pula

Turunan fungsi $F(x)=x^{4}-5$ adalah $F'(x)=f(x)=\frac{d}{dx}\left ( x^{4}-5 \right )=4x^{3}$

Dari turunan diatas secara induktif dapat disimpulan bahwa jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan yaitu f(x) maka anti turunan dari f(x) adalah F(x) + C dengan C adalah sembarang konstanta.

Perhatikan definisi dan sifat berikut

Definisi
Untuk fungsi $f:R\to R$ dan $F:R\to R$ disebut antiturunan dari f jika dan hanya jika F'(x) = f(x) $\forall x\in R$

Sifat-sifat
Proses menemukan y dari $\frac{dy}{dx}$ merupakan kebalikan dari suatu proses turunan dan dinamakan antiturunan
Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F'(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa turunan F(x) adalah f(x) dan antituruan dari f(x) adalah F(x)

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika f(x) adalah Turunan dari F(x), tentukan antiturunan dari fungsi-fungsi berikut

1. f(x) = 2x

Pembahasan

Turunan dari $x^{2}$ pastilah mengandung unsur x, sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right )=2x$

Jadi antiturunan dari f(x) = 2x adalah $F(x)=x^{2}$

2. f(x) = -3x

Pembahasan

Turunan dari $x^{2}$ pastilah mengandung unsur x, sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right )=2x$ dan $\frac{d}{dx}\left (-3 \left ( \frac{1}{2}x^{2} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( -\frac{3}{2}x^{2} \right )=-3x$

Jadi antiturunan dari f(x) = -3x adalah $F(x)=-\frac{3}{2}x^{2}$

3. $f(x)=-\frac{3}{2}x$

Pembahasan

Turunan dari $x^{2}$ pastilah mengandung unsur x, sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right )=2x$ dan $\frac{d}{dx}\left (-\frac{3}{2}\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( -\frac{3}{4}x^{2} \right )=-\frac{3}{2}x$

Jadi Antiturunan dari $f(x)=-\frac{3}{2}x$ adalah $F(x)=-\frac{3}{4}x^{2}$

4. $f(x)=\frac{5}{3}x$

Pembahasan

Turunan dari $x^{2}$ pastilah mengandung unsur x, sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right )=2x$ dan $\frac{d}{dx}\left (\frac{5}{3}\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left (\frac{5}{6}x^{2} \right )=\frac{5}{3}x$

Jadi antiturunan dari $f(x)=\frac{5}{3}x$ adalah $F(x)=\frac{5}{6}x^{2}$

5. f(x) = ax, untuk a bilangan real

Pembahasan

Turunan dari $x^{2}$ pastilah mengandung unsur x, sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{2} \right )=2x$ dan $\frac{d}{dx}\left (a\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left (\frac{a}{2}x^{2} \right )=ax$

Jadi antiturunan dari f(x) = ax adalah $F(x)=\frac{a}{2}x^{2}$

6. $f(x)=2x^{2}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{3}$ pastilah mengandung unsur $x^{2}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{3} \right )=3x^{2}$ dan $\frac{d}{dx}\left (2\left ( \frac{1}{3}x^{3} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( \frac{2}{3}x^{3} \right )=2x^{2}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=2x^{2}$ adalah $F(x)=\frac{2}{3}x^{3}$

7. $f(x)=-3x^{3}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{4}$ pastilah mengandung unsur $x^{3}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{4} \right )=4x^{3}$ dan $\frac{d}{dx}\left (-3\left ( \frac{1}{4}x^{4} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( -\frac{3}{4}x^{4} \right )=-3x^{3}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=-3x^{3}$ adalah $F(x)=-\frac{3}{4}x^{4}$

8. $f(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{-1}$ pastilah mengandung unsur $x^{-2}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{-1} \right )=-x^{-2}$ dan $\frac{d}{dx}\left (-\frac{1}{2}\left ( -x^{-1} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{2}x^{-1} \right )=-\frac{1}{2}x^{-2}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}$ adalah $F(x)=\frac{1}{2}x^{-1}$

9. $f(x)=\frac{5}{3}x^{-6}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{-5}$ pastilah mengandung unsur $x^{-6}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{-5} \right )=-5x^{-6}$ dan $\frac{d}{dx}\left (\frac{5}{3}\left ( -\frac{1}{5} x^{-5} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( -\frac{5}{13}x^{-5} \right )=\frac{5}{3}x^{-6}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=\frac{5}{3}x^{-6}$ adalah $F(x)=-\frac{5}{13}x^{-5}$

10. $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{\frac{3}{2}}$ pastilah mengandung unsur $x^{\frac{1}{2}}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{\frac{3}{2}} \right )=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{d}{dx}\left ( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right )=x^{\frac{1}{2}}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$ adalah $F(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

11. $f(x)=\frac{a}{b}x^{n-1}$

Pembahasan

Turunan dari $x^{n}$ pastilah mengandung unsur $x^{n-1}$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{n} \right )=nx^{n-1}$ dan $\frac{d}{dx}\left (\frac{a}{b}\left ( \frac{1}{n}x^{n} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( \frac{a}{bn}x^{n} \right )=\frac{a}{b}x^{n-1}$

Jadi antiturunan dari $f(x)=\frac{a}{b}x^{n-1}$ adalah $F(x)=\frac{a}{bn}x^{n}$

12. $f(x)=8x^{3}+4x$

Pembahasan

Turunan dari $x^{4}+x^{2}$ pastilan mengandung unsur $x^{3}+x$ , sehingga

$\frac{d}{dx}\left ( x^{4}+x^{2} \right )=4x^{3}+2x$

dan

$\frac{d}{dx}\left ( 8\left ( \frac{1}{4}x^{4}\right )+4\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right ) \right )=\frac{d}{dx}\left ( 2x^{^{4}}+2x^{2} \right )=8x^{3}+4x$

Jadi antiturunan dari $f(x)=8x^{3}+4x$ adalah $F(x)=2x^{^{4}}+2x^{2}$

Demikian pembahasan konsep antiturunan sebagai dasar pemahaman konsep integral. Semoga bermanfaat.

Konsep Antiturunan Sebagai Dasar Pemahaman Konsep Integral