Konsep Refleksi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

Pada pembahasan translasi sudah dijelaskan bahwa transformasi yang tidak mengubah bentuk dinamakan isometri. Pada isometri, jarak setiap dua titik pada bangun bayangan sama dengan jarak dua titik pada bangun asalnya, sehingga bangun yang dihasilkan kongruen dengan bangun aslinya. Transformasi isometri di antaranya adalah transformasi identitas (peta dan prapeta berimpit), pergeseran (translasi), perputaran (rotasi) dan pencerminan (refleksi).

Transformasi yang merubah jarak atau merubah bentuk dinamakan transformasi non isometri atau transformasi yang mengubah bentuk. Salah satu transformasi yang mengubah bentuk adalah perbesaran atau dilatasi.

SIFAT DAN RUMUS REFLEKSI

Sifat

Bangun yang dicerminkan (refleksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun datar dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Rumus - rumus Refleksi (Pencerminan)

1. Pencerminan terhadap titik pusat koordinat O(0,0)

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap titik O(0,0) menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{O(0,0)}}A'(x',y')$

$(x,y)\xrightarrow[]{C_{O(0,0)}}(-x,-y)$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

2. Pencerminan terhadap sumbu x

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{sumbu-x}}A'(x',y')$

$(x,y)\xrightarrow[]{C_{sb-x}}(x,-y)$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

3. Pencerminan terhadap sumbu y

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{sumbu-y}}A'(x',y')$

$(x,y)\xrightarrow[]{C_{sb-y}}(-x,y)$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

4. Percerminan terhadap garis y = x

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=x}}A'(x',y')$

$(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=x}}(y,x)$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

5. Pencerminan terhadap garis y = -x

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=-x}}A'(x',y')$

$(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=-x}}(-y,-x)$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

6. Pencerminan terhadap garis y = mx

Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = mx menghasilkan bayangan A'(x',y') ditulis dengan

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=mx}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos2\theta & sin2\theta \\ sin2\theta & -cos2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

dengan $m=tan\theta$

7. Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Langkah-langkah

1. Translasikan obyek dengan translasi T dimana T mentranslasikan y = mx + c berimpit dengan garis y = mx

2. Refleksikan bayangan yang terjadi ke garis y = mx

3. Traslasikan bayangan yang terjadi dengan translasi -T

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Soal 1

Tentukan dengan gambar pencerminan obyek pada bidang koordinat kartesius berikut

a. Titik A(3,-4) dicerminkan terhadap titik O(0,0)

b. Titik B(6,-3) dicerminkan terhadap sumbu x

c. Titik C(-5,2) dicerminkan terhadap sumbu y

d. Titik D(1,-5) dicerminkan terhadap y = x

Pembahasan

Gambar pencerminan obyek pada bidang cartesius dari soal diatas adalah

Soal 2

Tentukan dengan gambar pencerminan obyek pada bidang koordinat kartesius berikut

a. Ruas garis AB dengan A(-5,-1) dan B(-1,5) dicerminkan terhadap titik O(0,0)

b. Segitiga PQR dengan P(-3,-1), Q(-1,2) dan R(0,-4) dicerminkan terhadap sumbu x

Pembahasan

Gambar pencerminan obyek pada bidang cartesius dari soal diatas adalah

Soal 3

Tentukan bayangan dari titik berdasarkan pencerminan yang diberikan pada soal berikut

a. Titik A(-2,-1) dicerminkan terhadap titik O(0,0)

b. Titik B(2,5) dicerminkan terhadap sumbu x

c. Titik C(4,-1) dicerminkan terhadap sumbu y

d. Titik D(5,-5) dicerminkan terhadap y = x

e. Titik E(2,3) dicerminkan terhadap y = -x

Pembahasan

a. Bayangan Titik (-2,-1) dicerminkan terhadap titik O(0,0)

Cara 1 Pernah dipelajarai di SMP/MTs

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{O(0,0)}}A'(-x,-y)$

$A(-2,-1)\xrightarrow[]{C_{O(0,0)}}A'(2,1)$

Jadi bayangan titik A adalah A'(2,1)

Cara 2 Menggunakan Matriks

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{O(0,0)}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik A adalah A'(2,1)

b. Bayangan titik B(2,5) dicerminkan terhadap sumbu x

$B(x,y)\xrightarrow[]{C_{sumbu-x}}B'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -5 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik B adalah B'(2,-5)

c. Bayangan titik C(4,-1) dicerminkan terhadap sumbu y

$C(x,y)\xrightarrow[]{C_{sumbu-y}}C'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4\\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\ -1 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik C adalag C'(-4,-1)

d. Bayangan titik D(5,-5) dicerminkan terhadap y = x

$D(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=x}}D'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik D adalah D'(-5,5)

e. BayanganTitik E(2,3) dicerminkan terhadap y = -x

$A(x,y)\xrightarrow[]{C_{y=-x}}A'(x',y')$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ -2 \end{pmatrix}$

Jadi bayangan titik E adalah E'(-3,-2)

Soal 4

Dengan menggunakan konsep repleksi, tentukan hasil pencerminan fungsi-fungsi berikut

a. Garis y = 2 dicerminkan terhadap titik O(0,0)

b. Garis 2y - 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x

c. Parabola $y=x^{2}-3x+2$ dicerminkan terhadap sumbu y

d. Parabola $x=y^{2}-2y-2$ dicerminkan terhadap garis y = x

e. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ dicerminkan terhadap garis y = -x

Pembahasan

a. Bayangan garis y = 2 dicerminkan terhadap titik O(0,0)

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x\\ -y \end{pmatrix}$

diperoleh

x' = -x

x = -x' ............. (1)

y' = -y

y = -y' ............. (2)

Substitusi persamaan (2) ke garis

y = 2

-y' = 2

y' = -2

Jadi bayangan garis y = 2 yang dicerminkan terhadap titik O(0,0) adalah y = -2

b. Bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 dicerminkan terhadap sumbu x

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = x .............. (1)

y' = -y

y = -y' .............. (2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan garis

2y - 3x + 6 = 0

2(-y') - 3x' + 6 = 0

-2y' - 3x' + 6 = 0

2y' + 3x' - 6 = 0

Jadi bayangan garis 2y - 3x + 6 = 0 yang dicerminkan terhadap sumbu x adalah 2y + 3x - 6 = 0

c. Bayangan parabola $y=x^{2}-3x+2$ dicerminkan terhadap sumbu y

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = -x

x = -x' ................ (1)

y' = y .................. (2)

Substitusikan persamaan (1) dan persamaan (2) ke persamaan parabola

$y=x^{2}-3x+2$

$y'=(-x')^{2}-3(-x')+2$

$y'=x'^{2}+3x'+2$

Jadi bayangan parabola $y=x^{2}-3x+2$ dicerminkan terhadap sumbu y adalah $y=x^{2}+3x+2$

d. Bayangan parabola $x=y^{2}-2y-2$ dicerminkan terhadap garis y = x

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y\\ x \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = y ............... (1)

y' = x .................(2)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan parabola

$x=y^{2}-2y-2$

$y'=x'^{2}-2x'-2$

Jadi bayangan parabola $x=y^{2}-2y-2$ dicerminkan terhadap garis y = x adalah $y=x^{2}-2x-2$

e. Bayangan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ dicerminkan terhadap garis y = -x

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ -x \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

x' = -y

y = -x' ................ (1)

y' = -x

x = -y' .................(2)

Subsitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan lingkaran

$x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$

$(-y')^{2}+(-x')^{2}-2(-y')+2(-x')-3=0$

$y'^{2}+x'^{2}+2y'-2x'-3=0$

Jadi bayangan dari lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$ yang dicerminkan terhadap garis y = -x adalah $x^{2}+y^{2}-2x+2y-3=0$

Soal 5

Tentukan bayangan parabola $y=x^{2}$ yang dicerminkan terhadap garis $y=\sqrt{3}x$

Pembahasan

Dari persamaan garis $y=\sqrt{3}x$ diperoleh

$m=tan\theta$

$\sqrt{3}=tan\theta$

$\theta= tan^{-1}(\sqrt{3})=60^{0}$

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos2\theta & sin2\theta \\ sin2\theta & -cos2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos2.60^{0} & sin2.60^{0} \\ sin2.60^{0} & -cos2.60^{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos120^{0} & sin120^{0} \\ sin120^{0} & -cos120^{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{3}y\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

$x'=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{3}y$ ..................... (1)

$y'=\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$ ..........................(2)

dari persamaan (1) dan (2) bisa dituliskan menjadi

$x=-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y'$

$y=\frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y'$

Subsitusi nilai x dan y ke persamaan parabola

$y=x^{2}$

$\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\left ( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{3}y \right )^{2}$

$\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}$

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy-\frac{1}{2}\sqrt{3}x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}y^{2}=0$

Jadi persamaan bayangan dari parabola $y=x^{2}$ yang dicerminkan terhadap garis $y=\sqrt{3}x$ adalah $\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy-\frac{1}{2}\sqrt{3}x-\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}y^{2}=0$

Jika pencerminan ini digambarkan pada aplikasi geogebra akan terlihat seperti gambar berikut

Soal 6

Tentukan bayangan parabola $y=x^{2}$ yang dicerminkan terhadap garis $y=\sqrt{3}x+1$

Pembahasan

Langkah 1 : Garis dan parabola ditranslasikan oleh T(0,-1) agar garis melalui (0,0)

x' = x

y' = y - 1

y = y' + 1

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan garis dan parabola

$y=x^{2}$

$y'+1=x'^{2}$

$y=x^{2}-1$ ............ (1)

$y=\sqrt{3}x+1$

$y+1=\sqrt{3}x+1$

$y=\sqrt{3}x$ ............... (2)

Langkah 2 : Parabola (1) direfleksikan terhadap garis (2)

Dari persamaan garis $y=\sqrt{3}x$ diperoleh

$m=tan\theta$

$\sqrt{3}=tan\theta$

$\theta= tan^{-1}(\sqrt{3})=60^{0}$

maka

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos2\theta & sin2\theta \\ sin2\theta & -cos2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos2.60^{0} & sin2.60^{0} \\ sin2.60^{0} & -cos2.60^{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos120^{0} & sin120^{0} \\ sin120^{0} & -cos120^{0} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh

$x'=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{3}y$ ..................... (3)

$y'=\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$ ..........................(4)

dari persamaan (3) dan (4) bisa dituliskan menjadi

$x=-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y'$

$y=\frac{1}{2}\sqrt{3}x'+\frac{1}{2}y'$

Subsitusi nilai x dan y ke persamaan parabola

$y=x^{2}$ - 1

$\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\left ( -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sqrt{3}y \right )^{2}-1$

$\frac{1}{2}\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}-1$

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}x-\frac{1}{2}y-1=0$ ............... (5)

Langkah 3 : Translasikan kembali persamaan terakhir dengan -T yaitu T(0,1)

diperoleh

x' = x

y' = y + 1

y = y' - 1

Substitusikan nilai x dan y ke persamaan (5)

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}x(y-1)+\frac{3}{4}\left ( y-1 \right )^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}x-\frac{1}{2}(y-1)-1=0$

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}\left ( y^{2}-2y+1 \right )+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}-1=0$

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}=0$

$\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}-2y+\frac{1}{4}=0$

Jadi bayangan parabola $y=x^{2}$ yang dicerminkan terhadap garis $y=\sqrt{3}x+1$ adalah $\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}xy+\frac{3}{4}y^{2}-2y+\frac{1}{4}=0$

Jika digambarkan menggunakan aplikasi geogebra akan tampak seperti gambar berikut

Demikian peembahasan konsep refleksi matriks transformasi dan pembahasan soal, semoga bermanfaat. Amiin.

Konsep Refleksi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS REFLEKSI

Rumus - rumus Refleksi (Pencerminan)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Konsep Refleksi Matriks Transformasi dan Pembahasan Soal

SIFAT DAN RUMUS REFLEKSI

Rumus - rumus Refleksi (Pencerminan)

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

You might like

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال