Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasan Soal

APA ITU DERET GEOMETRI TAK HINGGA ?

Muhammad mempunyai satu Loyang roti tart. Awalnya dia ingin makan setengah loyang roti tersebut. Selanjutnya Muhammad makan setengah dari roti yang tersisa. Berikutnya dia makan setengah lagi dari roti yang tersisa dan demikian seterusnya. Proses ini dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar Proses Makan Roti
(Stewart, James, 2016, Precalculus: Mathematics for Calculus, 2016)

Apakah hal ini berarti Muhammad tidak mungkin makan seluruh roti tart tersebut? Tentu saja tidak seperti itu. Total roti yang dimakan Muhammad dapat dinyatakan dalam notasi penjumlahan sebagai berikut.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$

Deret tersebut merupakan deret tak hingga. Dari situasi gambar dan notasi deret tersebut, jelas bahwa sebanyak apapun suku-suku deret dijumlahkan, total penjumlahannya tidak akan pernah lebih dari 1. Semakin banyak suku yang dijumlahkan, hasil penjumlahannya semakin mendekati 1. Dugaan yang muncul adalah hasil penjumlahan 1 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tak hingga banyak bilangan-bilangan yang lebih kecil.

$1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2^{n}}+...$

Perhatikan penjumlahan beberapa suku berikut.

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

$S_{n}=1-\frac{1}{2^{n}}$

Apabila nilai 𝑛 semakin besar, suku yang dijumlahkan pada deret tersebut akan semakin banyak. Secara intuitif, jika 𝑛 semakin besar, nilai 𝑆𝑛 semakin mendekati jumlah deret. Perhatikan juga apabila nilai 𝑛 semakin besar, nilai $\frac{1}{2^{n}}$ akan semakin mendekati 0. Akibatnya nilai 𝑆𝑛 akan mendekati 1 - 0 = 1. Hal ini dapat dituliskan dengan notasi

$S_{n}\rightarrow 1$ jika $n\rightarrow \infty$

Secara umum, jika nilai 𝑆𝑛 mendekati suatu bilangan 𝑆 apabila nilai 𝑛 membesar, maka deret tak hingga tersebut dikatakan konvergen. Bilangan 𝑆 dinamakan jumlah deret tak hingga. Jika deret tak hingga tidak konvergen (tidak mendekati suatu bilangan 𝑆), deret tersebut dikatakan divergen.

Deret geometri tak hingga adalah deret yang berbentuk

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-1}+...$

Sementara diketahui bahwa jumlah deret geometri berhingga adalah

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$ dengan $r\neq 1$

Dapat ditunjukkan bahwa jika |𝑟| < 1, maka nilai $r^{n}$ akan mendekati 0 apabila nilai 𝑛 semakin membesar. Akibatnya nilai 𝑆𝑛 akan mendekati $\frac{a}{1-r}$ apabila nilai 𝑛 semakin membesar. Hal ini dapat dinotasikan dengan

$s_{n}\rightarrow \frac{a}{1-r}$ jika $n\rightarrow \infty$

Dengan demikian jumlah deret geometri tak hingga adalah $\frac{a}{1-r}$

Definisi Deret Geometri Tak Hingga

Jika |𝑟| < 1, maka deret geometri tak hingga
$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...$
akan konvergen dan mempunyai jumlah
$S=\frac{a}{1-r}$
Jika $\left | r \right |\geq 1$ , deret geometri tak hingga akan divergen (tidak memiliki jumlah)

CONTOH DAN PEMBAHASAN

Contoh 1

Tentukan jumlah setiap deret geometri tak hingga berikut ini jika ada.

a. $\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{9}{32}+...$

b. 1 - 2 + 4 - 8 + ...

Pembahasan

a. Langkah pertama adalah menghitung nilai 𝑟 untuk menentukan apakah deret geometri tak hingga tersebut konvergen atau divergen. Jika konvergen maka mempunyai jumlah.

$r=\frac{U_{2}}{U_{1}}$

$=\frac{3/8}{1/2}=\frac{3}{8}.2=\frac{3}{4}$

Karena $\left | \frac{3}{4} \right |<1$ maka deret geometri tak hingga diatas konvergen dan mempunyai jumlah, maka

$S=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{4}}$

$=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$

Dengan demikian jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 2.

b. Kita hitung terlebih dahulu nilai r

$r=\frac{U_{2}}{U_{1}}$

$=\frac{-2}{1}=-2$

karena $\left | -2 \right |> 1$ , maka deret divergen dan tidak memiliki jumlah.

Contoh 2

Hitunglah jumlah dari

$\sum_{n=1}^{\infty }24\left ( -\frac{1}{5} \right )^{n-1}$

Pembahasan

Dari bentuk notasi sigma diatas diperoleh :

a = 24 dan $r=-\frac{1}{5}$

Karena $\left | -\frac{1}{5} \right |<1$ , maka deret geomtri tak hingga tersebut konvergen dan memiliki jumlah, maka

$S=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{24}{1-\left ( -\frac{1}{5} \right )}$

$=\frac{24}{1+\frac{1}{5}}$

$=\frac{24}{\frac{6}{5}}$

$=24.\frac{5}{6}$

$=4.5=20$

Jadi jumlah dari deret geometri tak hingga diatas adalah 20

Contoh 3

Sebuah bola karet dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, tinggi pantulan bola tersebut adalah setengah dari ketinggian semula seperti pada gambar. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh bola karet tersebut sampai berhenti.

Pembahasan

Perhatikan bahwa lintasan bola karet adalah turun (saat jatuh) dan naik (saat memantul). Jumlah jarak untuk masing-masing lintasan turun dan naik membentuk deret geometri tak hingga.

Jumlah jarak untuk lintasan turun adalah

10 + 5 + 2,5 + 1,25 + 0,625 + ⋯

Jumlah jarak untuk lintasan naik adalah

5 + 2,5 + 1,25 + 0,625 + ⋯

Total panjang lintasan yang ditempuh bola karet sampai berhenti adalah dengan menjumlahkan panjang lintasan turun dan panjang lintasan naik

𝑆 = 10 + 2(5 + 2,5 + 1,25 + 0,625 + ⋯)

$=10+2\left ( 5+5\left ( \frac{1}{2} \right )+5\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+5\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+... \right )$

Perhatikan deret geometri tak hingga yang didalam kurung, diketahui a = 5 dan r = 1/2, maka diperoleh nilai S adalah

$S=10+2\left ( \frac{a}{1-r} \right )$

$=10+2\left ( \frac{5}{1-\frac{1}{2}} \right )$

$=10+2\left ( \frac{5}{\frac{1}{2}} \right )$

$=10+2.2.5=10+20=30$

Jadi panjang lintasan yang ditempuh bola adalah 30 meter.

(Tulisan ini semua diambil dari Draft Unit Pembelajaran PROGRAM PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN (PKB) MELALUI PENINGKATAN KOMPETENSI PEMBELAJARAN (PKP) BERBASIS ZONASI MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) Tahun 2019)

Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasan Soal

APA ITU DERET GEOMETRI TAK HINGGA ?

Definisi Deret Geometri Tak Hingga

CONTOH DAN PEMBAHASAN

1 تعليقات

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Deret Geometri Tak Hingga dan Pembahasan Soal

APA ITU DERET GEOMETRI TAK HINGGA ?

Definisi Deret Geometri Tak Hingga

CONTOH DAN PEMBAHASAN

You might like

1 تعليقات

إرسال تعليق

نموذج الاتصال