Operasi Aljabar pada Fungsi dan Pembahasan Soal

Pada pembahasan kali ini akan dibahas operasi aljabar pada fungsi yang meliputi jumlah dan selisih dua fungsi, perkalian dan pembagian dua fungsi

JUMLAH DAN SELISIH DUA FUNGSI

Apabila f dan g masing-masing adalah fungsi dengan daerah asal (domain) Df dan Dg dan peta-peta f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut maka :

1. Jumlah fungsi f dan g ditulis f + g adalah suatu fungsi :

$f+g:x\rightarrow f(x)+g(x)$ dapat dinyatakan sebagai

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

dengan domain dari f + g adalah irisan dari Df dan Dg

$D_{f+g}=D_{f} \cap D_{g}$

2. Selisih fungsi f dan g ditulis f - g adalah suatu fungsi :

$f-g:x\rightarrow f(x)-g(x)$ dapat dinyatakan sebagai

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

dengan domain dari f - g adalah irisan dari Df dan Dg

$D_{f-g}=D_{f} \cap D_{g}$

Contoh dan Pembahasan Soal

Contoh 1

Diketahui fungsi f dan g masing-masing pada R yang didefinisikan dengan $f(x)=x^{2}$ dan $g(x)=2x+3$

Tentukan

a. f + g

b. f - g

c. Prapeta dari 12 untuk fungsi f - g

Jawab

a. f + g = (f+g)(x)

= f(x) + g(x)

$=x^{2}+(2x+3)$

$=x^{2}+2x+3$

Jadi (f+g)(x) $=x^{2}+2x+3$

b. f - g = (f-g)(x)

= f(x) - g(x)

$=x^{2}-(2x+3)$

$=x^{2}-2x-3$

Jadi (f-g)(x) $=x^{2}-2x-3$

c. (f-g)(x) = 12

$x^{2}-2x-3=12$

$x^{2}-2x-3-12=0$

$x^{2}-2x-15=0$

(x+3)(x-5)=0

x = -3 atau x = 5

Jadi prapeta dari 12 untuk fungsi f - g adalah x = -3 atau x = 5

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DUA FUNGSI

Apabila f dan g masing-masing adalah fungsi dengan daerah asal (domain) Df dan Dg dan peta-peta f(x) dan g(x) ada pada kedua domain tersebut maka :

1. Hasil kali fungsi f dan g ditulis f . g adalah suatu fungsi :

$f.g:x\rightarrow f(x).g(x)$ dapat dinyatakan sebagai

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

dengan domain dari f . g adalah irisan dari Df dan Dg

$D_{f.g}=D_{f} \cap D_{g}$

2. Hasil bagi fungsi f dan g ditulis $\frac{f}{g}$ adalah suatu fungsi :

$\frac{f}{g}:x\rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}$ , dengan $g(x)\neq 0$ dapat dinyatakan sebagai

$\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

dengan domain dari $\frac{f}{g}$ adalah $D_{\frac{f}{g}}=\left \{ D_{f}\cap D_{g} \right \}-\left \{ x|g(x)=0 \right \}$

Contoh 2

Diketahui fungsi f dan g masing-masing pada R yang didefinisikan dengan f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x - 1

Tentukan

a. f . g dan (f.g)(2)

b. $\frac{f}{g}$ dan domain $\frac{f}{g}$

Pembahasan

a. f . g = (f.g)(x)

= f(x) . g(x)

= (2x + 3)(x - 1)

= 2x(x - 1)+3(x - 1)

= $2x^{2}$ - 2x + 3x - 3

= $2x^{2}$ + x - 3

(f.g)(2) = $2.2^{2}$ + 2 - 3

= 2 . 4 + 2 - 3

= 8 + 2 - 3

= 7

b. $\frac{f}{g}=\left ( \frac{f}{g} \right )\left ( x \right )$

$=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{2x+3}{x-1}$

f(x) terdefinisi di semua nilai x, maka domain dari f(x) adalah $D_{f}=\left \{ x|x\in R \right \}$

g(x) terdefinisi di semua nilai x, maka domain dari g(x) adalah $D_{g}=\left \{ x|x\in R \right \}$

Perhatikan juga bahwa $\frac{f}{g}$ akan terdefinisi jika g(x) tidak sama dengan nol.

Sehingga diperoleh

$D_{\frac{f}{g}}=\left \{ D_{f}\cap D_{g}-\left \{ x|g(x)=0 \right \} \right \}$

$D_{\frac{f}{g}}=\left \{ \left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \}\cap \left \{ x|x\in \mathbb{R} \right \} -\left \{ x|x-1=0 \right \} \right \}$

$D_{\frac{f}{g}}=\left \{ x|x\in \mathbb{R},x\neq 1 \right \}$

Contoh 3

Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$ dan $g(x)=\sqrt{x-2}$ . Tentukan fungsi-sungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.

a. (f + g)(x)

b. (f - g)(x)

c. (f . g)(x)

d. $\left ( \frac{f}{g} \right )(x)$

Pembahasan

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

= $\sqrt{x^{2}-4}$ + $\sqrt{x-2}$

Daerah asal dari f(x)

$f(x)=\sqrt{x^{2}-4}$ akan terdefinisi jika $x^{2}-4\geq 0$ , maka

$x^{2}-4\geq 0$

$(x-2)(x+2)\geq 0$

Pembuat nol fungsi

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2

Cek penyelesaian di garis bilangan

dari garis bilangan diatas terlihat bahwa nilai x yang memenuhi adalah $x\leq -2$ atau $x\geq 2$ , sehingga diperoleh domain dari f(x) adalah

$D_{f}=\left \{ x|x\leq -2\, atau\, x\geq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Daerah asal dari g(x)

$g(x)=\sqrt{x-2}$ akan terdefinisi jika $x-2\geq 0$ , maka

$x-2\geq 0$

$x\geq 2$

Sehingga daera asal dari g(x) adalah

$D_{g}=\left \{ x|x\geq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Jika daerah asal f(x) dan g(x) diiriskan, maka akan tampak seperti garis bilangan berikut

dari garis bilangan tersebut terlihat bahwa irisan dari f(x) dan g(x) adalah $x\geq 2$

sehingga domain dari (f + g)(x) adalah

$D_{f+g}=\left \{ x|x\geq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

b. (f - g)(x) = f(x) - g(x)

= $\sqrt{x^{2}-4}$ - $\sqrt{x-2}$

Untuk mencari domain dari (f - g)(x) caranya sama dengan soal a dan domainnya juga sama yaitu

$D_{f-g}=\left \{ x|x\geq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

c. (f . g)(x) = f(x) . g(x)

= $\sqrt{x^{2}-4}$ . $\sqrt{x-2}$

$=\sqrt{\left ( x^{2}-4 \right )\left ( x-2 \right )}$

$=\sqrt{\left ( x-2 \right )\left ( x+2 \right )\left ( x-2 \right )}$

$=\left ( x-2 \right )\sqrt{x+2}$

Domain domain dari (f . g)(x) sama dengan domain dari soal a yaitu

$D_{f.g}=\left \{ x|x\geq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

d. $\left ( \frac{f}{g} \right )(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{\sqrt{x-2}}$

$=\sqrt{\frac{x^{2}-4}{x-2}}$

$=\sqrt{\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}$

$=\sqrt{x+2}$

Untuk mencari irisan dari domain f(x) dan g(x) sama seperti soal a.

$\left ( \frac{f}{g} \right )(x)$ akan terdefinisi jika g(x) tidak sama dengan nol, maka

$x-2\neq 0$

$x\neq 2$

Sehingga domain dari $\left ( \frac{f}{g} \right )(x)$ adalah

$D_{\frac{f}{g}}=\left \{ x|x\geq 2,x\neq 2,x\in \mathbb{R} \right \}$

atau

$D_{\frac{f}{g}}=\left \{ x|x>2,x\in \mathbb{R} \right \}$

Operasi Aljabar pada Fungsi dan Pembahasan Soal

JUMLAH DAN SELISIH DUA FUNGSI

Contoh dan Pembahasan Soal

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DUA FUNGSI

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال

Operasi Aljabar pada Fungsi dan Pembahasan Soal

JUMLAH DAN SELISIH DUA FUNGSI

Contoh dan Pembahasan Soal

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DUA FUNGSI

You might like

Post a Comment

إرسال تعليق

نموذج الاتصال