Pembahasan Soal-Soal Limit Fungsi Trigonometri

Soal 1

Hitunglah nilai dari :

1. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{2xsin3x}$

2. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2xcos8x-tan2x}{16x^{3}}$

3. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos3x-cos5x}{x^{2}}$

4. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^{3}}$

Penyelesaian Soal No. 1

Ingat bahwa

$cos2x=1-2sin^{2}x\Leftrightarrow cosx=1-2sin^{2}\frac{1}{2}x\Leftrightarrow 1-cosx=2sin^{2}\frac{1}{2}x$

Maka

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{2xsin3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}\frac{1}{2}x}{2xsin3x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2}\frac{1}{2}x}{xsin3x}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}x}{x}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x}.\frac{1}{2}x.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x}{sin3x}.\frac{1}{3x}$

$=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{2}.1\frac{1}{3}$

$=\frac{1}{12}$

Penyelesaian Soal 2

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2xcos8x-tan2x}{16x^{3}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x\left ( cos8x-1 \right )}{16x^{3}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x\left ( -2sin^{2}4x \right )}{16x^{3}}$

$=-\frac{2}{8}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{2x}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2}4x}{x^{2}}$

$=-\frac{1}{4}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan2x}{2x}.\left ( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin4x}{x} \right )^{2}$

$=-\frac{1}{4}.1.4^{2}=-4$

Pembahasan Soal Nomor 3

Ingat kembali bahwa :

$cosA-cosB=-2sin\frac{1}{2}\left ( A+B \right )sin\frac{1}{2}\left ( A-B \right )$

maka :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos3x-cos5x}{x^{2}}$ $=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2sin\frac{1}{2}\left ( 3x+5x \right )sin\frac{1}{2}\left ( 3x-5x \right )}{x^{2}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2sin4xsin\left ( -x \right )}{x^{2}}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin4xsin\left ( x \right )}{x^{2}}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin4x}{x}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}$

$=2.4.1=8$

Pembahasan Soal Nomor 4

Ingat kembali bentuk sekawan dari $\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}$ adalah $\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}$

Bentuk diatas akan kita kalikan dengan pembagian bentuk sekawannya, maka :

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^{3}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^{3}}.\frac{\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}}{\sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( 1+tanx \right )-\left (1+sinx \right )}{x^{3}\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx-sinx}{x^{3}\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}-sinx}{x^{3}\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sinx-sinxcosx}{cosx}}{x^{3}\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^{3}cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx\left ( 1-cosx \right )}{x^{3}cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx\left ( 2sin^{2}\frac{1}{2}x \right )}{x^{3}cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx\left ( sin^{2}\frac{1}{2}x \right )}{x^{3}cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2}\frac{1}{2}x}{x^{2}}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}.\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sin\frac{1}{2}x}{x} \right )^{2}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cosx\left ( \sqrt{1+tanx}+\sqrt{1+sinx} \right )}$

$=2.1.\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}.\frac{1}{cos0\left ( \sqrt{1+tan0}+\sqrt{1+sin0} \right )}$

$=2.1.\frac{1}{4}.\frac{1}{1\left ( \sqrt{1+0}+\sqrt{1+0} \right )}$

$=2.1.\frac{1}{4}.\frac{1}{1\left ( 1+1 \right )}$

$=2.1.\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Soal 2

Hitunglah nilai dari $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xtanx}{1-cos3x}$

Pembahasan

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{xtanx}{1-cos3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\frac{sinx}{cosx}}{1-\left ( 1-2sin^{2}\frac{3}{2}x \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\frac{sinx}{cosx}}{2sin^{2}\frac{3}{2}x}$

$=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x.sinx}{cosx.sin^{2}\frac{3}{2}x}$

$=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{cosx}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sin\frac{3}{2}x}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{sin\frac{3}{2}x}$

$=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{\frac{3}{2}}.\frac{1}{\frac{3}{2}}$

$=\frac{1}{2}.1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}$

$=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$

Soal 3

Hitunglah nilai dari $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-sin2x}{cosx-cos3x}$

Pembahasan

Ingat bahwa :

$sinA+sinB=2cos\frac{A-B}{2}sin\frac{A+B}{2}$

$sinA-sinB=2cos\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$

$cosA+cosB=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$

$cosA-cosB=-2sin\frac{A+B}{2}sin\frac{A-B}{2}$

maka

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-sin2x}{cosx-cos3x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos\frac{x+2x}{2}sin\frac{x-2x}{2}}{-2sin\frac{x+3x}{2}sin\frac{x-3x}{2}}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos\frac{3}{2}x.sin\left ( -\frac{1}{2}x \right )}{-2sin2x.sin\left ( -x \right )}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2cos\frac{3}{2}x.sin\left ( \frac{1}{2}x \right )}{2sin2x.sin\left ( x \right )}$

$=-\lim_{x\rightarrow 0}cos\frac{3}{2}x.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{1}{2}x}{sin2x}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sinx}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}$

$=-1.\frac{1}{4}.1.\infty =\infty$

Soal 4

Hitunglah hasil dari $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx+sin3x}{xcosx}$

Pembahasan

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx+sin3x}{xcosx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos\frac{x-3x}{2}sin\frac{x+3x}{2}}{xcosx}$

$=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos\left ( -x \right )sin2x}{xcosx}$

$=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin2x}{x}$

$=2.2=4$

Halaman ini juga kami sediakan pembahasannya dalam bentuk video pada link berikut. Mohon dukungannya di channel ini dengan cara klik tombol Like, Subscribe bagi yang belum dan mohon dibagikan via media sosial atau yang lainnya untuk berbagi dengan kawan yang lain atau peserta didik kita. Terimakasih.

Pembahasan Soal-Soal Limit Fungsi Trigonometri

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form

Pembahasan Soal-Soal Limit Fungsi Trigonometri

You might like

Post a Comment

Post a Comment

Contact Form